圆盘法 — 绕 x 轴旋转
将旋转体切成无数个薄圆盘，每个圆盘的半径为 f(x)，叠加所有圆盘体积即得旋转体体积。
核心公式
圆盘半径 \(r = f(x)\)，厚度 \(dx\)，体积微元 \(dV = \pi[f(x)]^2\,dx\)
\(\displaystyle V = \int_a^b \pi[f(x)]^2\,dx\)
选择函数
圆盘切片数
8
近似体积—
精确体积—
误差—
观察：增大 n，圆盘越多越薄，"台阶"消失，近似体积逼近精确值！
旋转体截面视图
圆盘截面
上轮廓线
虚线: 下轮廓（镜像）
壳法 — 绕 y 轴旋转
将区域竖直切成薄条，每条绕 y 轴旋转形成圆柱壳，叠加所有壳体积即得旋转体体积。
核心公式
壳半径 \(r = x\)，壳高 \(h = f(x)\)，壳厚 \(dx\)
\(\displaystyle V = \int_a^b 2\pi x \cdot f(x)\,dx\)
函数：\(f(x) = x^2\)，区间 \([0, 1]\)
精确体积：\(\displaystyle V = 2\pi\int_0^1 x \cdot x^2\,dx = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}\)
圆柱壳数量
8
近似体积—
精确 π/21.5708
误差—
壳法优势：当绕 y 轴旋转时，若 f(x) 难以反解成 x = g(y)，壳法可直接对 x 积分，避免反函数的麻烦。
圆柱壳侧视图
圆柱壳（侧视）
曲线 y = x²
圆盘法 vs 壳法 — 方法对比
对同一旋转体，圆盘法和壳法殊途同归，得到相同的体积值。理解何时选择哪种方法是关键。
对比函数
函数：\(f(x) = x^2\)，区间 \([0, 1]\)
绕 x 轴（圆盘法）：\(\displaystyle V_x = \int_0^1 \pi(x^2)^2\,dx = \frac{\pi}{5}\)
绕 y 轴（壳法）：\(\displaystyle V_y = \int_0^1 2\pi x \cdot x^2\,dx = \frac{\pi}{2}\)
切片数
10
圆盘法（绕x轴）近似—
精确 π/50.6283
壳法（绕y轴）近似—
精确 π/21.5708
圆盘误差—
壳法误差—
如何选择方法？
1. 绕 x 轴旋转：优先考虑圆盘法（对 x 积分）
2. 绕 y 轴旋转：优先考虑壳法（对 x 积分，无需反函数）
3. 两种方法结果相同，选择积分更简单的方法
1. 绕 x 轴旋转：优先考虑圆盘法（对 x 积分）
2. 绕 y 轴旋转：优先考虑壳法（对 x 积分，无需反函数）
3. 两种方法结果相同，选择积分更简单的方法
圆盘法视图（绕 x 轴）
圆盘截面
y = x² 绕 x 轴
壳法视图（绕 y 轴）
圆柱壳
y = x² 绕 y 轴